博弈论

admin

今天是算法和数据布局專题第25篇文章，咱們继续消脂茶，博弈论專题。

在上一篇文章傍邊咱們领會了最简略的巴什博奕，今天咱們来看看另外暖手神器,一個經典的博弈模子——威佐夫博弈。博弈论和呆板进修有些雷同，数學家們针對場景举行建模，設計出了几個經典模子。然後咱們在面對详细問题的時辰，對問题举行深刻阐發，寻觅最符合的模子利用来解决它。

咱們来看一道經典的洗鞋神器,例题，有两堆石子，有两個尽頭聪慧的人在玩一個遊戲。每次每小我可以從此中一堆石子傍邊取走肆意数目的石子，或是從两堆傍邊同時取走不异数目的石子。没法取石子的人落败，请問，在告诉两堆石子数目的环境下，這两小我傍邊哪一方會获胜？

咱們简略阐發一下，會發明一些場合排場是先手必败的。好比说(0, 0)，再好比(1, 2)。咱們简略阐發一下(1, 2)，先手有4種计谋，起首他可以取走第一堆，那末背工可以取完第二堆，明显背工获胜。他也能够在第二堆傍邊取1個，這時候剩下(1, 1)，背工會同時取完，一样是背工获胜。第三種是他取走第二堆，背工可以取完第一堆，背工获胜。第四健康美容,種是他在第一堆和第二堆傍邊同時取走一個，這時候第二堆剩下一個，背工胜。

那末，這些必败的状况之間有甚麼纪律呢？咱們怎样找到這個纪律，而且找到解呢？

咱們可以罗列几個必败的状况：(0, 0), (1, 2), (3, 5), (4, 7)...

咱們察看一下這些状况，可以找到两条纪律。咱們假如從小到大排的第k個必败状况是(x, y)，而且x < y。咱們可以發明y = x + k。也就是说必败状况两個数的差值是递增的，這也阐明了每個必败状况的差值都各不不异。

實在這是很轻易證實的，咱們用反證法，假如(a, a+k), (b, b+k)都是必败状况，而且a < b。那末先手在面對(b, b+k)的時辰，只必要在两堆傍邊同時取走b-a個石子，那末给背工的場合排場就是(a, a+k)。對付背工来讲，這是一個必败的場合排場，這就和(b, b+k)先手必败抵牾，以是不存在两個必败場合排場的差值相称。

咱們也能够作圖阐發，咱們把两堆石子的数目當作是坐標轴上的一個點。以是遊戲就酿成了：棋盘上有一個點，每次每小我可以将它向下、向左或向左下挪動若干個格子，不克不及挪動的人输。终止节點明显是原點，一步就可以挪動到原點的點明显是必胜點，假如咱們给這些所有必胜點都染色的话，剩下的的没傍邊横纵坐標和最小的點就是下一個必败點。由於它非论若何挪動，城市给敌手留下一個必胜點。

咱們按照上面的逻辑把必败點都染色，可以获得下面這张圖：

從這张圖可以看出，必败點之間不克不及經由過程一次挪動获得，换句话说可以一次挪動到必败點的點都是必胜點，從圖上可以看出，除必败點的以外的點都是必胜點，而且每個天然数都必定只會被包括在一個必败状况傍邊。

到這里，咱們間隔解法已很靠近了，如今剩下的問题是，咱們若何按照x和y的取值快速果断它們是不是组成一個必败場合排場呢？也就是说咱們能不克不及找出一個通項公式，對付第k個必败場合排場，它的坐標是(x_k, y_k)呢？

为了寫出通項公式，咱們必要引入Betty定理。

P\cap Q = \varnothing

反證，咱們假如存在k \in P而且k \in Q，即存在正整数n， m知足 k < an,  bm < k+1。

也就是：\frac{n}{k} > \frac{1}{a} > \frac{n}{k+1}, \frac{m}{k} > \frac{1}{b} > \frac{m}{k+1}两個式子相加可以获得：\frac{m+n}{k} > 1 > \frac{m+n}{k}

即k < n+m < k+ 1，這與n，m，k都是正整数抵牾

P \cup Q = N^+

反證，假如存在k \notin P且k \notin Q，即存在正整数n，m知足an < k < a(n+1)-1, bm < k < b(m+1)-1

即：\frac{n}{k} < \frac{1}{a} < \frac{n+1}{k+1}, \frac{m}{k} < \frac{1}{b} < \frac{m+1}{k+1}

相加，可以获得：\frac{m+n}{k} < 1 < \frac{n+m+2}{k+1}

即：n + m < k 洗澡神器，< n + m + 1，這與n，m，k均为正整数抵牾

咱們花了這麼鼎力气来證實Betty定理就是为了用的，由於咱們發明必败状况的通項和Betty定理序列很像。咱們無妨假如存在如许的a, b同時知足Betty定理與必败状况的性子：

[an] + n = [bn], \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 \\[an] + n = [an + n] = [(a+1)n] = [bn] \\

代入可以获得：

\frac{1}{a} + \frac{1}{a+1} = 1 \\

解這個方程，可以获得a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx 1.618，認识数學的同窗信赖一下就看出来了，這個数是黄金朋分的比例，這是偶合嗎，仍是藏着更深的事理呢？

最少，求出了a以後，咱們便可以很是简略地果断必败状况了：

1. import math
   
2. def lose_or_win(a, b):
   
3. if a > b:
   
4. a, b = b, a
   
5. k = b - a
   
6. # 按照差值k求出第k個必败状况，果断是不是相称
   
7. return not (int(k * (math.sqrt(5)+1) / 2)) == a

複製代碼

和以前先容的巴什博奕比拟，威佐夫博弈的推导进程要繁杂很多，可是固然推导进程仍然繁杂，可是依然挡不住最後實現的代码很是简略。

此外，在推导的进程傍邊，咱們用到了Betty定理，這個定理的推导和證實固然不難，可是若是不是数學專業的同窗，可能大要率都没有接触過。這實在表現了博弈论自己和数學的瓜葛是很是慎密的。一個看起来很是简略的問题，引伸出了一系列目炫纷乱的推导和證實，怎样样，大師看得還過瘾嗎？

今天的中藥減肥茶,文章到這里就竣事了，若是喜好本文，可以的话，请點個存眷，给我一點鼓動勉励，也便利获得更多文章。